幾何分布２

教科書など見返してたら面白い？ことに気づいた？ので以下に書きます。

当たり確率がｐなくじ(当たらない確率はq=1-pとします)があって、n回目までに当たりを引く確率は、、、
1回目に当たる確率　p
1回目に外れて2回目に当たる確率　q×p
1回目と2回目に外れて3回目に当たる確率　q²×p
…
n-1回目までは全て外れてn回目に当たる確率　qⁿ⁻¹×p
をすべて足したもので結局、

p(1+q+q²+ ‥ + qⁿ⁻¹)　…(1)

になります。こんなにたくさん足し算はしたくないので、別の考えをします。

n回目までに当たりを引く確率を求めるのにまずn回目まで全て外れを引き続ける確率を求めてから、それ以外となる確率を求めます。
その確率は1-qⁿになります。(これについての詳しい説明は他を当たってください…)

ここまではいいのですが、(1)式も結局同じことになるのです。等比数列の和の公式を使うのです（こんな公式すでに忘却の彼方でしたが）。

p(1+q+q²+ ‥ + qⁿ⁻¹) = p × (1-qⁿ)/1-q = p × (1-qⁿ)/p = 1-qⁿ

なんか、ちょっと面白かったので投稿してみました。すんませんね。