確率の5倍もやれば当たるだろう(幾何分布)
いきなりですが…
当たりくじ等(私はやらんがガチャとか？？)で最初に当たりを引くまで回数の分布は幾何分布というものらしい。
この分布(確率の累積)について考えていけば、どの程度の回数で当たりを引けるかについて予測ができそうである。
今回は以下に示すように大ざっばに5倍、例えば1/100のくじなら500回、で少なくとも一回くらいは当たりを引けるだろうと予想してみる。
ところで当選確率をpとすると、この分布の平均と分散は以下のようである。
平均 E(X) = 1/p
分散 V(X) = (1 - p) / p²
面白いことにV(X)/E(X)を計算すると、
V(X)/E(X) = (1 - p) / p = E(X) - 1 なので、
V(X) = {E(X)}² - E(X) だ。
E(X)が十分に大きければ V(X) = {E(X)}² と考えてもよさそうだ。(例えばE(X)=100なら 10000と9900の違い)
なので、標準偏差σ=√V(X)はE(X)と考えても差し支えなさそうである(適当に)。
ところで幾何分布は正規分布ではないので±2σで確度の良い予想となる訳ではない、そこでチェビシェフの不等式とやらを利用しよう。
すると、5σをとれば24/25=0.96で96%はカバーできる(因みに2σなら75%のカバー)。
σは上記のようにE(X)として確率の逆数から計算する。そしてその5倍の範囲を考えれば幾何分布の少なくとも96％はカバーしているので当たりを引くにはそうそう十分だ。
※ただし保証はしません。
各確率ごとに分布をちゃんと作って予想すれば精度は上がると思うけど、おおざっぱにこういう予想の仕方もあり。
追記)
ガチャのシミュレーションについて分かりやすいサイトを見つけたのでリンクを貼ります。シミュレーションだと約3倍でも結構いい線みたい。5倍はだいぶ広く取ってるようです。ご参考。
